Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

 

Координаты – это величины, которые отображают местоположение конкретной точки в пространстве. Они определяются путем проведения геодезических измерений, к которым относится триангуляция, а также построение тахеометрического и теодолитного хода.

На плоскости координаты можно вводить неисчислимым количеством способов и через различные математические задачи создавать координатные системы. Благодаря вычислению координаты точек теодолитного хода на карту или план наносятся как эти самые пункты, так и жесткие объекты в зоне их видимости.

Общие понятия о системах координат в геодезии

Столь глубокие познания о строении и форме Земли, которые человек осваивал на протяжении веков, сегодня позволяют создавать невероятно точные координатные системы и картографические проекции.

Координатные системы заданы двумя направлениями на плоскости, а в пространстве – тремя. Осевые направления всегда перпендикулярны друг другу, а ориентированы горизонтально и вертикально. Их пересечение и определяет местоположение точки в заданной системе.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

В геодезии координатные системы разделены на следующие две группы:

  1. Прямолинейные прямоугольные. К ним причисляют проекцию Гаусса-Крюгера, индивидуальные референцные и местные системы.
  2. Полярные. Это геодезические, географические, астрономические, а также геоцентрические и топоцентрические координаты.

Теодолитный ход можно считать самым распространённым плановым обоснованием. Он не требует дорогостоящего и высокоточного оборудования, но помогает создать надежную плановую основу на территориях со сложной местностью. Его развивают от пунктов государственных геодезических сетей (ГГС) и сетей сгущения с уже установленными координатами.

Вычисляются координаты точек замкнутого и разомкнутого теодолитного хода посредством нахождения дирекционных углов его сторон и решения прямой геодезической задачи. Но перед этим следует проверить, соответствуют ли измерения нормативным требованиям.


Исходные данные для расчетов

Теодолитный ход может быть проложен в виде замкнутой фигуры или ломаной линии. Это зависит от характера снимаемой местности. Он является отличной геодезической основой для многих инженерных изысканий.

По итогу проведенных измерений составляется план или карта местности, а все вычисления заносятся в специальные ведомости. В нее заносятся следующие данные:

– горизонтальные углы пунктов;

– измеренное расстояние между ними;

– координаты пункта ГГС или опорной сети;

– значение исходного дирекционного угла.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

Для привязки хода к пункту ГГС или опорной сети необходимо определить местоположение одной его точки относительно этого пункта. Это можно сделать, измерив расстояние и горизонтальный примычной угол между ними. Такая процедура называется передачей координат и дирекционных углов.

Уравнивание измерений

Не существует еще методов, позволяющих без погрешностей выполнить измерения, но уравнивание позволит свести их к минимуму. Для замкнутого хода первым делом рассчитывается невязка:

\(f_{\beta}=\sum \beta _{изм}-\sum \beta_{теор}\)

где:

\(\sum \beta _{изм}=\beta _{1}+\beta _{2}+…\beta _{n}\) – сумма углов пунктов;

\(\sum \beta _{теор}\) – теоретическая сумма, определяемая выражением:

\(\sum \beta _{теор}=180^{\circ}\cdot (n-2)\)

\(n\) – количество углов.

Вычисленная невязка допустима, если соответствует требованию:

\(\beta _{испр}=\pm 1,5\sqrt{n}\)

Когда полученное значение не превышает допуск, то невязку разбрасываются между углами с противоположным знаком равномерно. Можно также распределить ее только между самыми короткими сторонами. Учитывая поправки и их знак, вычисляют исправленные углы:

\(\beta _{испр}=\beta _{изм}+\delta _{\beta }\)

\(\delta _{\beta }\) – поправка.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

Правильность уравнивания подтверждается следующим условием:

\(\sum \beta _{теор}=\beta _{испр}\)

Поскольку разомкнутый ход является ломаной линией, математические расчеты для него проводятся как для хода, в котором две исходные стороны и дирекционных угла. Для него применяют следующие выражения:

Читайте также:  Что такое электронный тахеометр и для чего он используется?

для левых углов:

\(\sum \beta _{теор}=\alpha _{кон}-\alpha _{нач}+n\cdot 180^{\circ}\)

правых:

\(\sum \beta _{теор}=\alpha _{нач}-\alpha _{кон}+n\cdot 180^{\circ}\)

Для упрощения дальнейших вычислений поправки могут быть распределены с целью округления десятых долей минут в углах до целых минут.


Вычисление дирекционных углов вершин

В геодезии за дирекционный угол (\(\alpha \)) принимают угол, который начинают отсчитывать от северного направления осевого меридиана и до заданной стороны. Он измеряется от 0 до 360°. Вычислить его значение для правой стороны хода можно по формуле ниже:

\(\alpha _{n}=\alpha _{n-1}+\eta \)

\(\eta=180^{\circ} -\beta _{пр.испр}\)

\(a _{n}=\alpha _{n-1}+180^{\circ}-\beta _{пр.испр}\)

Для левой стороны это выражение будет иметь такой вид:

\(\alpha _{n}=\alpha _{n-1}+\eta \)

\(\eta=\beta _{лев.исп.}-180^{\circ} \)

\(a _{n}=\alpha _{n-1}-180^{\circ}+\beta _{лев.исп.}\)

где:

\(\alpha _{n-1}\) – дирекционный угол предыдущей стороны, а \(n\) – последующей;

\(\beta _{пр.исп.}\) – значение правого исправленного угла между сторонами отрезка, а \(\beta _{лев.исп.}\)– левой стороны.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

Вычисления выполнены верно при равенстве заданного α и начальной стороны теодолитного хода. Если дирекционный угол больше 360° или имеет отрицательное значение, то это говорит об ошибке в расчетах.

После дирекционных углов необходимо найти румбы – острые углы, отсчитываемые от 0 до 90°. Они берут свое начало от ближайшего окончания осевого меридиана до ориентирной линии.

Четверть румба Название четверти Пределы изменения α Формула румба Знаки приращения
ΔХ ΔУ
I С.В. (северо-восток) 0° – 90° r = α + +
II Ю.В. (юго-восток) 90°-180° r = 180° – α +
III Ю.З. (юго-запад) 180°-270° r = α – 180°
IV С.З. (северо-запад) 270°-360° r = 360° – °α +

Таблица 1. Связь дирекционного угла и румба

Вычисление румбов и их знаков приращений зависит от четверти геодезических прямоугольных координат, в которой находится линия ориентирования.

Решение прямой и обратной геодезической задачи

Суть прямой геодезической задачи состоит в том, чтобы определить координатные значения вершины при заданных координатах соседней. Это возможно при известной горизонтальном проложении между ними и дирекционным углом линии. Для ее решения используются следующие формулы:

\(\Delta X=d\cdot cos \alpha \)

\(\Delta Y=d\cdot sin \alpha \)

где:

\(d\)–расстояния между соседними пунктами.

\(\alpha \) – значение дирекционного угла.

Знаки приращений зависят от четверти, определяемой дирекционным углом направления. Координатные значения конечной точки линии равняется сумме координаты начальной и приращения между ними. Из этого следует следующие выражение:

\(X_{2}=X_{1}+\Delta X\)

\(Y_{2}=Y_{1}+\Delta Y\)

\(X_{2}=X_{1}+d_{1-2}\cdot cos\alpha _{1-2}\)

\(Y_{2}=Y_{1}+d_{1-2}\cdot sin\alpha _{1-2}\)

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

Стоит также упомянуть и обратную геодезическую задачу, которая позволяет определить дирекционный угол, румб и горизонтальное проложение при установленных координатах пунктов теодолитного хода. Вычисления имеют такую последовательность:

\(\Delta X=X_{2}-X_{1}\)

\(\Delta Y=Y_{2}-Y_{1}\)

определяется румб линии \(r_{1-2}\):

\(tgr=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\)

из этого выходит, что:

\(r=arctg\frac|{\Delta Y}{\Delta X}|\)

По знакам приращения определяют четверть, в котором находится направление и по уже известному румбу вычисляют дирекционный угол. Определение горизонтального проложения будет завершающим этапом в решении обратной задачи:

\(d=\frac{\Delta X}{cos\alpha }\)

\(d=\frac{\Delta Y}{sin\alpha }\)

\(d=\sqrt{\Delta X^2+\Delta Y^2}\)


Приращение координат и их увязка

Приращением называют величины, на которые будут увеличены координаты предыдущей точки для вычисления последующей. В основу этих расчетов берется уже знакомая формула прямой задачи:

\(\Delta X=d\cdot cos \alpha \)

\(\Delta Y=d\cdot sin \alpha \)

Полученные значения также необходимо уровнять, чтобы равномерно распределить погрешности и получить наиболее точный результат. Начинают расчеты с определения невязок. Поскольку сумма проекций в сторонах многоугольной замкнутой фигуры равняется нулю, для вычисления невязок пунктов замкнутого хода используют следующую формулу:

\(f_{X}=\sum \Delta X_{выч}-\sum \Delta X_{теор};\sum \Delta X_{теор}=0\)

\(f_{Y}=\sum \Delta Y_{выч}-\sum \Delta Y_{теор};\sum \Delta Y_{теор}=0\)

Читайте также:  Назначение и виды теодолитных ходов, в чем преимущество их использования?

\(\sum \Delta X_{выч},\sum \Delta Y_{выч}\) – суммы приращений, рассчитанные с учетом знаков для замкнутого и разомкнутого хода;

\(\sum \Delta X_{теор},\sum \Delta Y_{теор}\) – теоретические суммы приращений.

Если невязки не находятся в допуске, необходимы повторные расчеты, чтобы определить ошибку и устранить ее. В противном случае проводятся повторные измерения на участке.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

Вследствие влияния погрешностей на ход, он будет разомкнут на величину , которая представляет собой абсолютную невязку в его периметре. По этому причине проверяется соответствие условию допустимости его невязок.

  1. Абсолютное значение:

\(f_{p}=\sqrt{f_{x}^2+f_{y}^2}\)

  1. Относительное

\(f_{отн}=\frac{f_{абс}}{P}\)

P – периметр хода, полученный суммированием всех его сторон.

Допустимая невязка должна удовлетворять условие 1/2000, а при соответствии выражению \(|f_{отн}|\leq |f_{доп}|\) выполняют ее распределение с противоположным знаком. Однако перед этим рассчитывают поправки приращений, которые определяют для каждой стороны:

\(\delta _{x_{i}}=-\frac{f_{x}d_{i}}{P}\);\(\delta _\Delta {y_{i}}=-\frac{f_{y}d_{i}}{P}\)

\(\delta _{x_{i}},\delta _{y_{i}}\)– значения поправок в приращениях.

Чтобы упростить дальнейшие расчеты поправки, необходимо округлить их до 0,01 м.

Для разомкнутого хода за теоретическую сумму приращений берется разность между двумя соседними точками.

\(f_{X}=\sum \Delta X_{выч}-\sum \Delta X_{теор};   \sum \Delta X_{теор}=x_{B}-x_{A}\)

\(f_{Y}=\sum \Delta Y_{выч}-\sum \Delta Y_{теор};   \sum \Delta Y_{теор}=y_{B}-y_{A}\)

Для обоих ходов поправки имеют противоположный приращению знак. Уравнивание выполнено верно, если сумма исправленных приращений равна или максимально приближена к нулю.

Как вычислить координаты точек хода

Вычисляют значения координат вершин замкнутого и разомкнутого теодолитного хода сначала для опорного пункта, а потом уже для остальных его вершин.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

Значение следующего пункта хода вычисляют суммированием предыдущего пункта и исправленного приращения. Это наглядно отображено в формуле:

\(X_{n}=X_{n-1}+\Delta X _{n-1(испр)}\)

\(Y_{n}=Y_{n-1}+\Delta Y _{n-1(испр)}\)

\(X_{n-1},Y_{n-1}\) – координатные значения предыдущего пункта

\(\Delta X_{теор}=x_{B}-x_{A},\Delta Y_{теор}=y_{B}-y_{A}\) – исправленные приращения.

В данных формулах применяется алгебраическая сумма, поэтому знаки также необходимо учитывать при расчетах. Если в конце вычислений получены координатные значения начальной точки, то они выполнены правильно.


Нанесение точек на план и его оформление

После завершения обработки измерений, которые были проведены на местности, составляется ее контурный или ситуационный план. Построение плана теодолитного хода происходит поэтапно и состоит из следующих этапов:

  1. Создание координатной сетки. Ход необходимо равномерно отобразить на плане, поэтому сначала определяют середину листа. Через весь лист проводят два диагональных отрезка, от которых и будет строиться сетка, состоящая из отрезков по 10 см. Допускается погрешность не более 0,2 мм. Определить их количество можно по формуле:

\(N_{X}=(x_{max}-x_{min})/200\)

\(N_{Y}=(y_{max}-y_{min})/200\)

\(x_{max},y_{max}\) – наибольшие значения координат, увеличенные до большего значения, которое кратное 200.

\(x_{min},y_{min}\) – наименьшее значение, но уменьшенное и кратное 200.

200 – длина стороны квадрата в метрах , которая в плане равна 10 см.

Координаты точек теодолитного хода: последовательность вычислений

  1. Обозначение точек на плане. Лучше всего подходят для нанесения координат пунктов на план циркуль и масштабная линейка. Соседние вершины должны иметь такое же расстояние и дирекционный угол, как записано в ведомости.
  2. Нанесение ситуации на план. Участки снимаемой местности в процессе полевых работ отображают на специальном схематическом бланке – абрисе. В дальнейшем их используют для переноса контуров, линий и вершин точек. Ситуация изображается на планах и картах специальными обозначениями – условными знаками.
  3. Оформление плана в соответствии с требованиями. Все топографические материалы должны строго соответствовать нормативным документам. В частности, нужно выдерживать заданные очертания и их размеры. Должны присутствовать пояснительные надписи, легенда, а также указан масштаб.

Сегодня координаты замкнутого теодолитного хода вычисляются значительно проще, а создание всех графических материалов выполняется при помощи специализированных программ автоматически. Это значительно ускорило процесс выполнения геодезических работ и других инженерных изысканий.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector